오늘은 데이터 사이에 있는 값을 예측하기 위한 선형 보간법 (Linear Interpolation) 에 대해 설명하겠습니다. 예를 들어, 현장에서 데이터를 수집할 때 매일 데이터를 수집할 수는 없을 것입니다. 그래서 우리는 일정한 간격 (매주, 격주, etc.,) 으로 데이터를 수집합니다. 그러나 데이터를 제시할 때는 일별로 표시해야 할 경우가 발생 합니다. 예를 들어, 질소 비료 시비량이 0kg/ha, 30kg/ha, 60kg/ha, 120kg/ha 일 때 반응하는 작물의 수확량 차이를 조사한다고 가정해 보겠습니다. 0부터 120까지의 각 질소 비료량에서 수확량 차이를 나타내야 한다면 어떻게 데이터를 추정할 수 있을까요? 이런 상황에서 우리는 보간법 공식을 사용할 수 있습니다.
데이터를 가지고 예시를 들어 보겠습니다.
sulphur=c(0,5,10,12,15,20,24,26,30,35) yield=c(4.1,6.2,7.5,8.2,8.8,9.5,10.5,10.4,10.1,10) dataA=data.frame(sulphur,yield) print(dataA) sulphur yield 1 0 4.1 2 5 6.2 3 10 7.5 4 12 8.2 5 15 8.8 6 20 9.5 7 24 10.5 8 26 10.4 9 30 10.1 10 35 10.0
황 (Sulphur) 은 작물의 성장, 영양분 흡수, 품질 향상 등 여러 측면에서 중요한 역할을 합니다. 그리고 이는 일반적으로 황산칼리 (SOP) 비료 형태로 사용됩니다. 이제 이 데이터를 바탕으로 각기 다른 SOP 양에 대한 최종 작물 수확량을 그래프를 만들어 보겠습니다.
if(!require(ggplot2)) install.packages("ggplot2")
library(ggplot2)
if (require("ggpmisc") == F) install.packages("ggpmisc")
library(ggpmisc)
ggplot(data=dataA, aes(x=sulphur, y=yield))+
stat_smooth(method='lm', linetype=1, se=FALSE,
formula=y~poly(x,2, raw=TRUE), size=0.5, color="dark red") +
geom_point(alpha=0.5, size=4) +
#Equation
stat_poly_eq(aes(label= paste(..eq.label.., sep= "~~~")),
label.x=0.9, label.y=0.9,
eq.with.lhs= "italic(hat(y))~'='~", eq.x.rhs= "~italic(x)",
coef.digits=3, formula=y~poly(x,2, raw=TRUE), parse=TRUE, size=5)+
# R-squared
stat_poly_eq(aes(label=paste(..rr.label.., sep= "~~~")),
label.x=0.9, label.y=0.85, rr.digits=3,
formula=y~poly(x,2, raw=TRUE), parse=TRUE, size=5) +
scale_x_continuous(breaks = seq(0,35,5), limits = c(0,35)) +
scale_y_continuous(breaks = seq(0,15,5), limits = c(0,15)) +
labs(y="Yield (ton/ha)", x="Sulfur application (kg/ha)") +
theme_classic(base_size=18, base_family="serif")+
theme(axis.line=element_line(linewidth=0.5, colour="black")) +
windows(width=5.5, height=5)
이제 위와 같은 이차 회귀 그래프를 만들었습니다. 그러나 특정 황 (Sulfur) 양에서 각 데이터 포인트를 표시해야 할 경우에는 어떻게 해야 할까요?
이를 위해 보간 (interpolation) 공식을 사용할 수 있으며, 해당 식은 다음과 같습니다:
공식이 조금 까다로워 보일 수 있지만, 원리를 이해하면 식은 간단합니다. 아래 엑셀 데이터를 가지고 이야기 해 봅시다.
이제 황 (Sulfur) 시비량이 1 kg/ha일 때의 수확량 (yield)을 추정하고자 합니다. 이를 위해 간단한 interpolation 공식을 사용할 수 있습니다.
y= ((6.20 - 4.10) / (5 - 0)) * (1 - 0) + 4.10 = 4.52
황 (Sulfur) 시비량이 1 kg/ha일 때 수확량은 4.52 Mg/ha로 계산됩니다. 하지만 이렇게 하나하나 계산하는 것은 시간이 많이 걸리는 작업이므로, 엑셀에서 interpolation 공식을 가장 쉽게 적용하는 방법을 소개하겠습니다.
1) 기울기 계산
아래 계산식을 다시 한번 생각해 봅시다.
(y2 - y1) / (x2 - x1) = ((6.20 - 4.10) / (5 - 0)) = 0.42
사실, 이 공식은 두 데이터 포인트 사이의 기울기(slope)를 계산하는 것입니다. 따라서 먼저 엑셀에서 각 데이터 사이의 기울기를 계산해야 합니다. 이를 위해 =SLOPE() 함수를 사용할 수 있습니다.
= slope (y range, x range)
마지막 데이터인 0.29 는 10.00 / 35 ≈ 0.29 로 계산됩니다. 이유인 즉, 마지막에는 x2, y2 데이터가 존재하지 않기에 아래와 같이 계산 될 것 입니다.
(y2 - y1) / (x2 - x1) = ((100) / (35)) = 0.29
2) 가장 근접한 값 찾기
이제 황 (Sulfur) 시비량 데이터를 1에서 35까지 확장한 뒤, 원래 데이터와 비교하여 가장 가까운 값을 찾아 보겠습니다.
우리는 =VLOOKUP() 함수를 사용하여 데이터를 매칭할 수 있습니다. 이때, Range_lookup을 TRUE (또는 1) 로 설정하면 가장 가까운 값을 찾고, FALSE (또는 0) 로 설정하면 정확한 값을 찾습니다.
=VLOOKUP() 함수를 사용하여 확장된 황 (Sulfur) 시비량 데이터 에서 원래 데이터의 수확량 (Yield)과 기울기 (Slope) 값을 매칭해 보겠습니다.
다음으로, 황 (Sulfur) 값이 있는 H 열에서 가장 가까운 값을 찾겠습니다. 이 과정은 아래의 공식과 관련이 있습니다.
3) 예측값 계산
마지막으로, interpolation 공식을 사용하여 예측값을 계산하겠습니다.
0에서 35까지의 각 황(Sulfur) 시비량에 대한 예상 수확량을 다음과 같이 계산했습니다.
이제 각 황(Sulfur) 시비량에 대한 예상 수확량 계산을 완료했습니다. 파란색 데이터는 예측된 (보간된) 데이터를 나타내고 빨간색 데이터는 실제 측정된 데이터를 나타냅니다.
Sulphur Yield Slope Estimated.Yield 1 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-red-color">0 4.1 0.4200000 4.100</mark> 2 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">1 4.1 0.4200000 4.520</mark> 3 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">2 4.1 0.4200000 4.940</mark> 4 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">3 4.1 0.4200000 5.360</mark> 5 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">4 4.1 0.4200000 5.780</mark> 6 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-red-color">5 6.2 0.2600000 6.200</mark> 7 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">6 6.2 0.2600000 6.460</mark> 8 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">7 6.2 0.2600000 6.720</mark> 9 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">8 6.2 0.2600000 6.980</mark> 10 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">9 6.2 0.2600000 7.240</mark> 11 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-red-color">10 7.5 0.3500000 7.500</mark> 12 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">11 7.5 0.3500000 7.850</mark> 13 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-red-color">12 8.2 0.2000000 8.200</mark> 14 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">13 8.2 0.2000000 8.400</mark> 15 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">14 8.2 0.2000000 8.600</mark> 16 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-red-color">15 8.8 0.1400000 8.800</mark> 17 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">16 8.8 0.1400000 8.940</mark> 18 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">17 8.8 0.1400000 9.080</mark> 19 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">18 8.8 0.1400000 9.220</mark> 20 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">19 8.8 0.1400000 9.360</mark> 21 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-red-color">20 9.5 0.2500000 9.500</mark> 22 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">21 9.5 0.2500000 9.750</mark> 23 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">22 9.5 0.2500000 10.000</mark> 24 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">23 9.5 0.2500000 10.250</mark> 25 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-red-color">24 10.5 -0.0500000 10.500</mark> 26 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">25 10.5 -0.0500000 10.450</mark> 27 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-red-color">26 10.4 -0.0750000 10.400</mark> 28 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color"> 27 10.4 -0.0750000 10.325</mark> 29 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">28 10.4 -0.0750000 10.250</mark> 30 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">29 10.4 -0.0750000 10.175</mark> 31 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-red-color">30 10.1 -0.0200000 10.100</mark> 32 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">31 10.1 -0.0200000 10.080</mark> 33 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">32 10.1 -0.0200000 10.060</mark> 34 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">33 10.1 -0.0200000 10.040</mark> 35 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color">34 10.1 -0.0200000 10.020</mark> 36 <mark style="background-color:rgba(0, 0, 0, 0)" class="has-inline-color has-vivid-red-color">35 10.0 0.2857143 10.000</mark>
비교를 시각적으로 확인하기 위해 두개의 그래프를 그려 보겠습니다. 왼쪽 그래프는 실제 데이터를 가지고 그래프를 그렸고, 오른쪽 그래프는 보간된 (예측된) 데이터를 가지고 그래프를 그렸습니다. 통계적 결과 (기울기 및 R²) 가 크게 변하지 않는 것을 확인 할 수 있는데 이는 보간된 데이터가 실제 데이터의 범위 내에 존재하기 때문입니다.
이것이 보간 (interpolation) 기법을 사용하여 중간 데이터를 예측하는 방법입니다.독립 변수의 전체 범위에 대해 종속 변수를 표현해야 하는 경우, 이 보간 기법을 활용하여 신뢰할 수 있는 값을 추정할 수 있습니다.
■ R 을 이용하여 중간 데이터 값을 예측
이제 보간법의 원리를 이해했다면, 앞에서 처럼 단계별로 계산할 필요 없이 R을 이용하여 간편하게 계산할 수 있습니다. 아래 코드를 참조해 주세요.
sulphur= c(0,5,10,12,15,20,24,26,30,35) yield= c(4.1,6.2,7.5,8.2,8.8,9.5,10.5,10.4,10.1,10) dataA= data.frame(sulphur, yield)
<strong># Install and load the zoo package</strong>
if(!require(zoo)) install.packages("zoo")
library(zoo)
<strong># Create a sequence for the complete range of sulphur</strong>
full_range= seq(min(dataA$sulphur), max(dataA$sulphur))
<strong># Interpolate the values for yield</strong>
yield_interp= na.approx(dataA$yield, x= dataA$sulphur, xout= full_range)
<strong># Combine the results into a new data frame</strong>
df_interp= data.frame (sulphur= full_range, yield= yield_interp)
head (df_interp, 3)
sulphur yield
0 4.10
1 4.52
2 4.94
.
.
.
tail (df_interp, 3)
sulphur yield
33 10.04
34 10.02
35 10.00
if(!require(ggplot2)) install.packages("ggplot2")
library(ggplot2)
if(!require(ggpmisc)) install.packages("ggpmisc")
library(ggpmisc)
ggplot(data=df_interp, aes(x=sulphur, y=yield))+
stat_smooth(method='lm', linetype=1, se=FALSE,
formula=y~poly(x,2, raw=TRUE), size=0.5, color="dark red") +
geom_point(alpha=0.5, size=4) +
#Equation
stat_poly_eq(aes(label= paste(..eq.label.., sep= "~~~")),
label.x=0.9, label.y=0.9,
eq.with.lhs= "italic(hat(y))~'='~", eq.x.rhs= "~italic(x)",
coef.digits=3, formula=y~poly(x,2, raw=TRUE), parse=TRUE, size=5)+
# R-squared
stat_poly_eq(aes(label=paste(..rr.label.., sep= "~~~")),
label.x=0.9, label.y=0.85, rr.digits=3,
formula=y~poly(x,2, raw=TRUE), parse=TRUE, size=5) +
scale_x_continuous(breaks = seq(0,35,5), limits = c(0,35)) +
scale_y_continuous(breaks = seq(0,15,5), limits = c(0,15)) +
labs(y="Yield (ton/ha)", x="Sulfur application (kg/ha)") +
theme_classic(base_size=18, base_family="serif")+
theme_grey(base_size=18, base_family="serif")+
theme(axis.line=element_line(linewidth=0.5, colour="black"))+
windows(width=5.5, height=5)
Full code: https://github.com/agronomy4future/r_code/blob/main/Predicting_Intermediate_Data_Points_with_Linear_Interpolation_in_Excel_and_R.ipynb
■ R 패키지: interpolate()
얼마전 저는 중간 데이터 값을 쉽게 계산하기 위해 새로운 R package; interpolate() 를 개발 했습니다.
sulphur= c(0,5,10,12,15,20,24,26,30,35)
yield= c(4.1,6.2,7.5,8.2,8.8,9.5,10.5,10.4,10.1,10)
dataA= data.frame(sulphur, yield)
if(!require(remotes)) install.packages("remotes")
if (!requireNamespace("interpolate", quietly = TRUE)) {
remotes::install_github("agronomy4future/interpolate", force= TRUE)
}
library(remotes)
library(interpolate)
result= interpolate(dataA, x="sulphur", y="yield", group_vars= NULL)
print (result)
sulphur yield category
1 0 4.100 0
2 1 4.520 1
3 2 4.940 1
4 3 5.360 1
5 4 5.780 1
6 5 6.200 0
7 6 6.460 1
8 7 6.720 1
9 8 6.980 1
10 9 7.240 1
11 10 7.500 0
12 11 7.850 1
13 12 8.200 0
14 13 8.400 1
15 14 8.600 1
16 15 8.800 0
17 16 8.940 1
18 17 9.080 1
19 18 9.220 1
20 19 9.360 1
21 20 9.500 0
22 21 9.750 1
23 22 10.000 1
24 23 10.250 1
25 24 10.500 0
26 25 10.450 1
27 26 10.400 0
28 27 10.325 1
29 28 10.250 1
30 29 10.175 1
31 30 10.100 0
32 31 10.080 1
33 32 10.060 1
34 33 10.040 1
35 34 10.020 1
36 35 10.000 0
이 코드는 자동으로 interpolation 을 계산할 뿐만 아니라, 각 데이터가 실제 데이터 (0) 인지 보간된 데이터(1) 인지 구분하여 표시합니다. 자세한 내용은 아래 게시물을 참고해 주세요.
■ [R package] An easy way to use interpolation code to predict in-between data points
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Last Updated: 01/03/2025
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